Завдання № 11.21. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника відносяться як $3 : 5$ , а кут між ними дорівнює $12 0^{\circ}$ . Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює $30 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Введення невідомої змінної
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ( $x > 0$ ). Тоді за умовою задачі дві сторони трикутника $△ A B C$ дорівнюють:
$A B = 3 x см, A C = 5 x см$
Кут між ними становить $∠ A = 12 0^{\circ}$ .

2. Знаходження третьої сторони за теоремою косинусів
За теоремою косинусів для сторони $B C$ :
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos ∠ A$

Значення косинуса тупого кута $12 0^{\circ}$ :
$cos 12 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

Підставимо вирази для сторін та значення косинуса:

B C^{2} B C^{2} B C^{2} = (3 x)^{2} + (5 x)^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 5 x \cdot (- \frac{1}{2}) = 9 x^{2} + 25 x^{2} + 15 x^{2} = 49 x^{2}

Оскільки довжина сторони є додатною величиною, маємо:
$B C = 49 x^{2} = 7 x см$

3. Складання рівняння за периметром трикутника
Периметр трикутника — це сума довжин усіх його сторін:
$P = A B + A C + B C$

За умовою периметр дорівнює $30 см$ :
$3 x + 5 x + 7 x = 30$
$15 x = 30$
$x = \frac{30}{15} = 2$

4. Обчислення довжин сторін трикутника
Знаючи значення $x$ , знаходимо шукані сторони:
$A B = 3 \cdot 2 = 6 см$
$A C = 5 \cdot 2 = 10 см$
$B C = 7 \cdot 2 = 14 см$

Відповідь:
$6 см$ , $10 см$ , $14 см$ .

Завдання № 11.21. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку