Завдання № 11.20. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони трикутника, одна з яких на $4\text{ см}$ більша за другу, утворюють кут $120^{\circ }$, а третя сторона дорівнює $14\text{ см}$. Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та геометрична інтерпретація
Розглянемо $△ABC$, у якому кут між двома невідомими сторонами дорівнює $\angle C=120^{\circ }$.
Нехай довжина меншої сторони $BC=x\text{ см}$ ($x>0$).
Тоді більша прилегла сторона $AC=(x+4)\text{ см}$.
Третя сторона, що лежить навпроти кута $120^{\circ }$, дорівнює $AB=14\text{ см}$.

2. Застосування теореми косинусів
За теоремою косинусів для сторони $AB$ у $△ABC$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$

Підставимо у формулу відомі дані, враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$:
$14^2=(x+4{)}^2+x^2-2\cdot (x+4)\cdot x\cdot \cos 120^{\circ }$

3. Розв’язування алгебраїчного рівняння
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
$196=x^2+8x+16+x^2-2x(x+4)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$196=2x^2+8x+16+x(x+4)$
$196=2x^2+8x+16+x^2+4x$
$3x^2+12x+16-196=0$
$3x^2+12x-180=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$:
$x^2+4x-60=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта:

Оскільки довжина сторони трикутника може бути тільки додатним числом ($x>0$), корінь $x_2=-10$ не задовольняє геометричний зміст задачі.

Отримуємо: $x=6$.

4. Обчислення сторін і периметра трикутника
Визначимо довжини всіх сторін трикутника:

• $BC=6\text{ см}$;
• $AC=6+4=10\text{ см}$;
• $AB=14\text{ см}$.

Периметр трикутника ($P$) дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P=AB+BC+AC=14+6+10=30\text{ см}$

Відповідь:
$30\text{ см}$