Завдання № 11.2. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На малюнку 11.5 зображено $△KLM$. Які з рівностей є правильними:

1) $L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2+2\cdot KL\cdot KM\cdot \cos K$;

2) $K{M}^2=K{L}^2+L{M}^2-2\cdot KL\cdot LM\cdot \cos L$;

3) $K{L}^2=K{M}^2+M{L}^2-2\cdot KM\cdot ML\cdot \cos K$;

4) $L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2-2\cdot KL\cdot KM\cdot \cos K$?

Покроковий розв’язок:

За теоремою косинусів: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Проаналізуємо кожну з наданих рівностей для $△KLM$:

1. Аналіз рівності 1:
$L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2+2\cdot KL\cdot KM\cdot \cos K$
Кутом між сторонами $KL$ та $KM$ є кут $K$. Проте за формулою теореми косинусів перед подвоєним добутком має стояти знак «мінус», а не «плюс». Отже, рівність 1 є неправильною.

2. Аналіз рівності 2:
$K{M}^2=K{L}^2+L{M}^2-2\cdot KL\cdot LM\cdot \cos L$
Сторона $KM$ лежить навпроти кута $L$, який утворений сторонами $KL$ та $LM$. Формула повністю відповідає теоремі косинусів: квадрат сторони $KM$ дорівнює сумі квадратів сторін $KL$ і $LM$ мінус їхній подвоєний добуток на косинус кута $L$ між ними. Отже, рівність 2 є правильною.

3. Аналіз рівності 3:
$K{L}^2=K{M}^2+M{L}^2-2\cdot KM\cdot ML\cdot \cos K$
Кутом між сторонами $KM$ та $ML$ є кут $M$, а не кут $K$. Відповідно до теореми косинусів мало бути:
$K{L}^2=K{M}^2+M{L}^2-2\cdot KM\cdot ML\cdot \cos M$
Отже, рівність 3 є неправильною.

4. Аналіз рівності 4:
$L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2-2\cdot KL\cdot KM\cdot \cos K$
Сторона $LM$ лежить навпроти кута $K$, утвореного сторонами $KL$ та $KM$. Формулювання та знаки повністю узгоджуються з теоремою косинусів. Отже, рівність 4 є правильною.

Відповідь:
Правильними є рівності 2) і 4).