Завдання № 11.19. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін трикутника дорівнює $7\text{ см}$. Дві інші його сторони утворюють кут $60^{\circ }$, а їхня різниця дорівнює $3\text{ см}$. Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та позначень

Розглянемо $△ABC$, у якому:

• кут між двома невідомими сторонами: $\angle C=60^{\circ }$;
• протилежна сторона: $AB=7\text{ см}$.

За умовою різниця двох інших сторін дорівнює $3\text{ см}$.
Нехай менша з них $BC=x\text{ см}$ (де $x>0$), тоді більша сторона $AC=(x+3)\text{ см}$.

2. Складання рівняння за теоремою косинусів

За теоремою косинусів для сторони $AB$ трикутника $△ABC$:
$A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos \angle C$

Підставимо відомі значення та вирази сторін:
$7^2=x^2+(x+3{)}^2-2\cdot x\cdot (x+3)\cdot \cos 60^{\circ }$

Оскільки $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, маємо:
$49=x^2+(x^2+6x+9)-2\cdot x\cdot (x+3)\cdot \frac{1}{2}$

Спростимо вираз:
$49=2x^2+6x+9-x(x+3)$
$49=2x^2+6x+9-x^2-3x$
$49=x^2+3x+9$

Перенесемо всі доданки в одну частину та зведемо квадратне рівняння до стандартного вигляду:
$x^2+3x+9-49=0$
$x^2+3x-40=0$

3. Розв’язання квадратного рівняння

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-40)=9+160=169=13^2$

Обчислимо корені:
$x_1=\frac{-3+13}{2\cdot 1}=\frac{10}{2}=5$
$x_2=\frac{-3-13}{2\cdot 1}=\frac{-16}{2}=-8$

Корінь $x_2=-8$ не задовольняє геометричний зміст задачі, оскільки довжина сторони трикутника повинна бути додатною величиною ($x>0$).

Отже, $x=5$.

4. Обчислення довжин сторін та периметра

Знайдемо довжини невідомих сторін трикутника:
$BC=5\text{ см}$
$AC=5+3=8\text{ см}$

Обчислимо периметр $△ABC$:
$P=AB+BC+AC=7+5+8=20\text{ см}$

Відповідь:
$20\text{ см}$