Завдання № 11.17. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони трикутника дорівнюють $10 см$ , $24 см$ і $26 см$ . Знайдіть медіану трикутника, проведену до більшої сторони.

Покроковий розв’язок:

Розглянемо трикутник зі сторонами $a = 10 см$ , $b = 24 см$ та більшою стороною $c = 26 см$ .

Цю задачу можна розв’язати двома способами.

Спосіб 1. Використання властивості прямокутного трикутника

1. Перевірка виду трикутника за теоремою, оберненою до теореми Піфагора:
Перевіримо, чи виконується рівність для квадратів сторін:
$a^{2} + b^{2} = 1 0^{2} + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676$
$c^{2} = 2 6^{2} = 676$
Оскільки $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ( $1 0^{2} + 2 4^{2} = 2 6^{2}$ ), то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, даний трикутник є прямокутним із гіпотенузою $c = 26 см$ .

2. Обчислення довжини медіани:
За властивістю прямокутного трикутника, медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині цієї гіпотенузи:
$m_{c} = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13 см$

Спосіб 2. За загальною формулою медіани трикутника

Довжину медіани $m_{c}$ , проведеної до сторони $c$ , можна обчислити за формулою:
$m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$

Підставимо значення сторін:

m_{c} = \frac{1}{2} 2 \cdot 1 0^{2} + 2 \cdot 2 4^{2} - 2 6^{2} = \frac{1}{2} 2 \cdot 100 + 2 \cdot 576 - 676 = \frac{1}{2} 200 + 1152 - 676 = \frac{1}{2} 676 = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13 см

Відповідь:
$13 см$

Завдання № 11.17. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку