Завдання № 11.14. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Визначте вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), якщо відомо довжини трьох його сторін:

1) $2 см$ , $8 см$ і $9 см$ ;

2) $7 см$ , $24 см$ і $25 см$ ;

3) $4 см$ , $7 см$ і $8 см$ ;

4) $5 см$ , $5 см$ і $6 см$ .

Покроковий розв’язок:

У довільному трикутнику проти найбільшої сторони завжди лежить найбільший кут. За теоремою косинусів, якщо $c$ — найбільша сторона трикутника, а $a$ і $b$ — дві інші сторони, то косинус кута $α$ , що лежить проти сторони $c$ , обчислюється за формулою:

cos α = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 \cdot a \cdot b}

Вид трикутника визначається знаком косинуса найбільшого кута:

якщо $cos α > 0$ , то кут $α$ гострий, отже, трикутник — гострокутний;
якщо $cos α = 0$ , то кут $α = 9 0^{\circ}$ , отже, трикутник — прямокутний;
якщо $cos α < 0$ , то кут $α$ тупий, отже, трикутник — тупокутний.

1. Сторони $2 см$ , $8 см$ і $9 см$

Найбільша сторона дорівнює $9 см$ . Знайдемо косинус протилежачого кута $α$ :

cos α = \frac{2 ^{2} + 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 8} = \frac{4 + 64 - 81}{32} = \frac{- 13}{32}

Оскільки $cos α < 0$ , найбільший кут $α$ є тупим, тому трикутник — тупокутний.

2. Сторони $7 см$ , $24 см$ і $25 см$

Найбільша сторона дорівнює $25 см$ . Знайдемо косинус протилежачого кута $α$ :

cos α = \frac{7 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 24} = \frac{49 + 576 - 625}{336} = \frac{0}{336} = 0

Оскільки $cos α = 0$ , кут $α = 9 0^{\circ}$ , тобто є прямим, тому трикутник — прямокутний.

3. Сторони $4 см$ , $7 см$ і $8 см$

Найбільша сторона дорівнює $8 см$ . Знайдемо косинус протилежачого кута $α$ :

cos α = \frac{4 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 64}{56} = \frac{1}{56}

Оскільки $cos α > 0$ , найбільший кут $α$ є гострим (а отже, й інші два кути теж гострі), тому трикутник — гострокутний.

4. Сторони $5 см$ , $5 см$ і $6 см$

Найбільша сторона дорівнює $6 см$ . Знайдемо косинус протилежачого кута $α$ :

cos α = \frac{5 ^{2} + 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{14}{50} = 0, 28

Оскільки $cos α > 0$ , найбільший кут $α$ є гострим, тому трикутник — гострокутний.

Відповідь:

1) Тупокутний;

2) прямокутний;

3) гострокутний;

4) гострокутний.

Завдання № 11.14. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку