Завдання № 11.13. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Визначте вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), якщо відомо три його сторони:

1) $4\text{ см}$, $5\text{ см}$ і $6\text{ см}$;

2) $6\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $10\text{ см}$;

3) $7\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $13\text{ см}$;

4) $5\text{ см}$, $5\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Вид трикутника визначається його найбільшим кутом, який лежить проти найбільшої сторони. Нехай найбільша сторона дорівнює $c$, а дві інші — $a$ та $b$.

За теоремою косинусів:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha$
Звідси косинус найбільшого кута $\alpha$ дорівнює:
$\cos \alpha =\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a\cdot b}$

Знак косинуса визначає вид кута $\alpha$:

• якщо $\cos \alpha >0$, то кут $\alpha$ гострий, отже, трикутник є гострокутним;
• якщо $\cos \alpha =0$, то кут $\alpha =90^{\circ }$, отже, трикутник є прямокутним;
• якщо $\cos \alpha <0$, то кут $\alpha$ тупий, отже, трикутник є тупокутним.

1) Сторони $4\text{ см}$, $5\text{ см}$ і $6\text{ см}$

Найбільша сторона дорівнює $6\text{ см}$. Обчислимо косинус протилежащого кута $\alpha$:
$\cos \alpha =\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$
Оскільки $\cos \alpha >0$, кут $\alpha$ є гострим, тому даний трикутник — гострокутний.

2) Сторони $6\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $10\text{ см}$

Найбільша сторона дорівнює $10\text{ см}$. Знайдемо косинус протилежащого кута $\alpha$:
$\cos \alpha =\frac{6^2+8^2-10^2}{2\cdot 6\cdot 8}=\frac{36+64-100}{96}=\frac{0}{96}=0$
Оскільки $\cos \alpha =0$, кут $\alpha =90^{\circ }$, тому даний трикутник — прямокутний.

3) Сторони $7\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $13\text{ см}$

Найбільша сторона дорівнює $13\text{ см}$. Знайдемо косинус протилежащого кута $\alpha$:
$\cos \alpha =\frac{7^2+8^2-13^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{49+64-169}{112}=-\frac{56}{112}=-\frac{1}{2}$
Оскільки $\cos \alpha <0$, кут $\alpha$ є тупим ($\alpha =120^{\circ }$), тому даний трикутник — тупокутний.

4) Сторони $5\text{ см}$, $5\text{ см}$ і $8\text{ см}$

Найбільша сторона дорівнює $8\text{ см}$. Знайдемо косинус протилежащого кута $\alpha$:
$\cos \alpha =\frac{5^2+5^2-8^2}{2\cdot 5\cdot 5}=\frac{25+25-64}{50}=-\frac{14}{50}=-0,28$
Оскільки $\cos \alpha <0$, кут $\alpha$ є тупим, тому даний трикутник — тупокутний.

Відповідь:

1) гострокутний;

2) прямокутний;

3) тупокутний;

4) тупокутний.