Завдання № 11.12. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть градусну міру найменшого кута трикутника, сторони якого дорівнюють $4\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $4\sqrt{3}\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення найменшої сторони трикутника

Порівняємо довжини сторін трикутника, записавши кожне число під знаком квадратного кореня:

• $4=\sqrt{16}$;
• $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$;
• $8=\sqrt{64}$.

Оскільки $16<48<64$, маємо нерівність:
$4<4\sqrt{3}<8$

Отже, найменша сторона трикутника дорівнює $4\text{ см}$.

2. Застосування властивості кутів трикутника та теореми косинусів

За теоремою про співвідношення між сторонами і кутами трикутника, проти найменшої сторони завжди лежить найменший кут. Позначимо цей кут як $\alpha$.

За теоремою косинусів:
$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Звідси виразимо косинус кута $\alpha$:
$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}$

Підставимо значення сторін $a=4\text{ см}$, $b=8\text{ см}$ та $c=4\sqrt{3}\text{ см}$:

Оскільки кут трикутника $\alpha \in (0^{\circ };180^{\circ })$ і $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, отримуємо:
$\alpha =30^{\circ }$

(Зауважимо: перевіривши теорему, обернену до теореми Піфагора: $4^2+(4\sqrt{3}{)}^2=16+48=64=8^2$, бачимо, що даний трикутник прямокутний з гіпотенузою $8\text{ см}$. Тоді $\sin \alpha =\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$, звідки $\alpha =30^{\circ }$, оскільки катет, що лежить проти кута $30^{\circ }$, дорівнює половині гіпотенузи).

Відповідь: $30^{\circ }$.