Завдання № 11.11. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ сторони дорівнюють $AB=\sqrt{2}\text{ см}$, $BC=2\text{ см}$, $AC=\sqrt{10}\text{ см}$. Знайдіть градусну міру найбільшого кута трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення найбільшої сторони трикутника
Порівняємо довжини сторін трикутника $ABC$, піднісши їх до квадрата:
$A{B}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$
$B{C}^2=2^2=4$
$A{C}^2=(\sqrt{10}{)}^2=10$

Оскільки $2<4<10$, маємо:
$AB<BC<AC$

Отже, сторона $AC$ є найбільшою стороною трикутника $ABC$.

2. Визначення найбільшого кута
За властивістю трикутника, проти більшої сторони лежить більший кут. Оскільки сторона $AC$ є найбільшою, то кут, що лежить навпроти неї — $\angle B$ (або $\angle ABC$) — є найбільшим кутом трикутника $ABC$.

3. Знаходження градусної міри кута за теоремою косинусів
За теоремою косинусів для сторони $AC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Виразимо звідси косинус кута $\angle B$:
$\cos \angle B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}$

Підставимо числові значення сторін:

Оскільки значення косинуса від’ємне, кут $\angle B$ є тупим:
$\angle B=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$

Відповідь:
$135^{\circ }$.