Завдання № 11.10. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ відомо, що $AB=1\text{ см}$, $BC=2\text{ см}$, $AC=\sqrt{3}\text{ см}$. Знайдіть градусну міру кожного з кутів трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кута $A$

За теоремою косинусів для сторони $BC$, яка лежить навпроти кута $A$:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A$

Звідси виразимо косинус кута $A$:
$\cos \angle A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$

Підставимо значення сторін:
$\cos \angle A=\frac{1^2+(\sqrt{3}{)}^2-2^2}{2\cdot 1\cdot \sqrt{3}}=\frac{1+3-4}{2\sqrt{3}}=\frac{0}{2\sqrt{3}}=0$

Оскільки $\cos \angle A=0$, то кут $A$ дорівнює:
$\angle A=90^{\circ }$

(Трикутник $ABC$ є прямокутним з гіпотенузою $BC$).

2. Знаходження кута $B$

За теоремою косинусів для сторони $AC$, протилежної куту $B$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Виразимо косинус кута $B$:
$\cos \angle B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}$

Підставимо числові значення:
$\cos \angle B=\frac{1^2+2^2-(\sqrt{3}{)}^2}{2\cdot 1\cdot 2}=\frac{1+4-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Оскільки $\cos \angle B=\frac{1}{2}$, то:
$\angle B=60^{\circ }$

3. Знаходження кута $C$

За теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$

Звідси:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)=180^{\circ }-(90^{\circ }+60^{\circ })=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$

Відповідь:
$\angle A=90^{\circ }$, $\angle B=60^{\circ }$, $\angle C=30^{\circ }$.