Завдання № 11.1. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Запишіть теорему косинусів для:

1) сторони $M N$ трикутника $M N L$ ;

2) сторони $P F$ трикутника $P F T$ .

Покроковий розв’язок:

За теоремою косинусів: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними ( $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos α$ ).

1. Запис теореми косинусів для сторони $M N$ трикутника $M N L$

У $△ M N L$ сторонами, суміжними зі стороною $M N$ , є відрізки $M L$ та $N L$ . Кутом між ними є $∠ L$ (або $∠ M L N$ ).

Відповідно, теорема косинусів для сторони $M N$ має вигляд:
$M N^{2} = M L^{2} + N L^{2} - 2 \cdot M L \cdot N L \cdot cos ∠ L$

Виразимо безпосередньо довжину сторони $M N$ :
$M N = M L^{2} + N L^{2} - 2 \cdot M L \cdot N L \cdot cos ∠ L$

2. Запис теореми косинусів для сторони $P F$ трикутника $P F T$

У $△ P F T$ сторонами, що утворюють кут навпроти сторони $P F$ , є $P T$ і $F T$ . Кутом між ними є $∠ T$ (або $∠ P T F$ ).

За теоремою косинусів для сторони $P F$ :
$P F^{2} = P T^{2} + F T^{2} - 2 \cdot P T \cdot F T \cdot cos ∠ T$

Звідси довжина сторони $P F$ :
$P F = P T^{2} + F T^{2} - 2 \cdot P T \cdot F T \cdot cos ∠ T$

Відповідь:

1) $M N^{2} = M L^{2} + N L^{2} - 2 \cdot M L \cdot N L \cdot cos ∠ L$ (або $M N = M L^{2} + N L^{2} - 2 \cdot M L \cdot N L \cdot cos ∠ L$ );

2) $P F^{2} = P T^{2} + F T^{2} - 2 \cdot P T \cdot F T \cdot cos ∠ T$ (або $P F = P T^{2} + F T^{2} - 2 \cdot P T \cdot F T \cdot cos ∠ T$ ).

Завдання № 11.1. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку