Завдання № 106. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Основа трапеції дорівнює $12\text{ см}$. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на $2\text{ см}$ і $3\text{ см}$. Знайдіть площу трапеції.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано трапецію $ABCD$ з основами $BC$ та $AD$ ($BC\parallel AD$). Діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$.

1. Висота трапеції

Проведемо через точку $O$ перпендикуляр до основ трапеції: відрізок $KL$, де $K\in BC$, $L\in AD$, отже, $OK\perp BC$ та $OL\perp AD$.

Оскільки основи паралельні ($BC\parallel AD$), точки $K$, $O$ і $L$ лежать на одній прямій, а відрізок $KL$ є висотою трапеції:
$h=KL=OK+OL=2+3=5\text{ см}$

2. Властивість подібності трикутників при діагоналях трапеції

Розглянемо трикутники $△BOC$ та $△DOA$:

• $\angle BOC=\angle DOA$ як вертикальні кути;
• $\angle CBO=\angle ADO$ як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $BC\parallel AD$ та січній $BD$.

Отже, $△BOC\sim △DOA$ за двома кутами (перша ознака подібності трикутників).

У подібних трикутниках відповідні лінійні елементи (сторони та висоти, проведені до них) пропорційні:
$\frac{BC}{AD}=\frac{OK}{OL}=\frac{2}{3}$

Звідси випливає, що основа, яка розташована ближче до точки $O$ (на відстані $2\text{ см}$), є меншою, а основа, розташована на відстані $3\text{ см}$, — більшою.

Оскільки в умові задачі не уточнено, яка саме основа дорівнює $12\text{ см}$ (менша чи більша), розглянемо обидва можливі випадки:

Випадок 1. Відома менша основа ($BC=12\text{ см}$)

Підставимо значення $BC$ у пропорцію:
$\frac{12}{AD}=\frac{2}{3}$

Знайдемо більшу основу $AD$:
$AD=\frac{12\cdot 3}{2}=18\text{ см}$

Обчислимо площу трапеції $S$:
$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot KL=\frac{12+18}{2}\cdot 5=15\cdot 5=75{\text{ см}}^2$

Випадок 2. Відома більша основа ($AD=12\text{ см}$)

Підставимо значення $AD$ у пропорцію:
$\frac{BC}{12}=\frac{2}{3}$

Знайдемо меншу основу $BC$:
$BC=\frac{12\cdot 2}{3}=8\text{ см}$

Обчислимо площу трапеції $S$:
$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot KL=\frac{8+12}{2}\cdot 5=10\cdot 5=50{\text{ см}}^2$

Відповідь: $75{\text{ см}}^2$ (якщо дана менша основа) або $50{\text{ см}}^2$ (якщо дана більша основа).