Завдання № 105. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки завдовжки $3\text{ см}$ і $9\text{ см}$. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричної конфігурації

Нехай у прямокутному трикутнику $△ABC$ кут при вершині $C$ прямий ($\angle C=90^{\circ }$). Коло з центром у точці $O$ вписане в $△ABC$ і дотикається до сторін $AC$, $BC$ та $AB$ у точках $N$, $K$ і $P$ відповідно.

Радіуси, проведені в точки дотику, перпендикулярні до сторін трикутника:
$ON\perp AC,OK\perp BC,OP\perp AB$

Оскільки в чотирикутнику $CNOK$ кути $\angle C=\angle CNO=\angle CKO=90^{\circ }$, а суміжні сторони рівні як радіуси вписаного кола ($ON=OK=r$), то чотирикутник $CNOK$ є квадратом. Звідси випливає:
$CN=CK=r$

Відрізок катета, прилеглий до прямого кута, дорівнює радіусу вписаного кола $r$. Оскільки радіус кола не може бути більшим за інший відрізок гіпотенузи, то $r=CN=3\text{ см}$, а $AN=9\text{ см}$.

Довжина катета $AC$:
$AC=AN+NC=9+3=12\text{ см}$

2. Використання властивості дотичних

За властивістю відрізків дотичних, проведених до кола з однієї точки:

• з точки $A$: $AP=AN=9\text{ см}$;
• з точки $B$: позначимо $BK=BP=x\text{ см}$.

Тоді сторони трикутника виражаються через змінну $x$:

• катет $BC=CK+KB=(3+x)\text{ см}$;
• гіпотенуза $AB=AP+PB=(9+x)\text{ см}$.

3. Знаходження невідомого відрізка за теоремою Піфагора

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника $△ABC$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

Підставимо виражені сторони:
$(x+9{)}^2=12^2+(x+3{)}^2$

Розкриємо дужки за формулами скороченого множення:
$x^2+18\cdot x+81=144+x^2+6\cdot x+9$

Спростимо рівняння:

Отже, довжина другого катета:
$BC=3+6=9\text{ см}$

4. Обчислення площі прямокутного трикутника

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=54{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$54{\text{ см}}^2$