Завдання № 104. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки $4\text{ см}$ і $6\text{ см}$. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано прямокутний трикутник $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$), у який вписано коло з центром у точці $O$ та радіусом $r$. Точки $N$, $K$ і $P$ — точки дотику кола до катетів $AC$, $BC$ та гіпотенузи $AB$ відповідно.

За умовою точка $P$ ділить гіпотенузу $AB$ на відрізки $AP=4\text{ см}$ і $BP=6\text{ см}$. Тоді довжина гіпотенузи дорівнює:
$AB=AP+PB=4+6=10\text{ см}$

1. Властивість дотичних, проведених з однієї точки

За теоремою про відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки:

• відрізки дотичних з вершини $A$: $AN=AP=4\text{ см}$;
• відрізки дотичних з вершини $B$: $BK=BP=6\text{ см}$.

2. Властивість чотирикутника $CNOK$

Радіуси, проведені в точки дотику, є перпендикулярними до відповідних сторін:
$ON\perp AC,OK\perp BC$
Оскільки $\angle C=90^{\circ }$, $\angle ONC=90^{\circ }$ та $\angle OKC=90^{\circ }$, то чотирикутник $CNOK$ — прямокутник. Оскільки сусідні сторони $ON=OK=r$, чотирикутник $CNOK$ є квадратом зі стороною $r$:
$CN=CK=r$

Виразимо довжини катетів трикутника через невідомий радіус $r$:
$AC=AN+NC=4+r$
$BC=BK+KC=6+r$

3. Знаходження радіуса за теоремою Піфагора

За теоремою Піфагора для $△ABC$:
$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$

Підставимо отримані вирази:
$(r+4{)}^2+(r+6{)}^2=10^2$
$r^2+8\cdot r+16+r^2+12\cdot r+36=100$
$2\cdot r^2+20\cdot r+52-100=0$
$2\cdot r^2+20\cdot r-48=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$r^2+10\cdot r-24=0$

Знайдемо корені за теоремою Вієта або через дискримінант:
$r_1=2,r_2=-12$

Оскільки довжина радіуса кола є додатною величиною ($r>0$), корінь $r=-12$ не задовольняє умову задачі. Отже, $r=2\text{ см}$.

4. Обчислення катетів та площі трикутника

Знаходимо довжини катетів:
$AC=4+2=6\text{ см}$
$BC=6+2=8\text{ см}$

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$24{\text{ см}}^2$.