Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Периметри двох подібних п’ятикутників відносяться як , а сума їхніх найменших сторін дорівнює . Знайдіть сторони кожного з п’ятикутників, якщо сторони одного з них відносяться як .
Покроковий розв’язок:
1. Властивість периметрів і відповідних сторін подібних многокутників
За властивістю подібних многокутників, відношення їхніх периметрів дорівнює відношенню відповідних сторін (коефіцієнту подібності ):
де і — периметри меншого та більшого п’ятикутників відповідно, а і — їхні найменші відповідні сторони.
2. Знаходження найменших сторін п’ятикутників
Оскільки відношення найменших сторін дорівнює , позначимо:
- довжину найменшої сторони першого (меншого) п’ятикутника як ;
- довжину найменшої сторони другого (більшого) п’ятикутника як .
За умовою задачі сума цих сторін дорівнює :
Звідси знаходимо найменші сторони обох фігур:
- для меншого п’ятикутника: ;
- для більшого п’ятикутника: .
3. Обчислення всіх сторін кожного п’ятикутника
Оскільки многокутники подібні, відповідні сторони пропорційні, а отже, сторони як першого, так і другого п’ятикутника відносяться як .
У цьому відношенні найменшій стороні відповідає число .
-
Сторони меншого п’ятикутника:
Найменша сторона дорівнює , що становить частини.
Тоді довжина однієї частини:Обчислюємо довжини всіх п’яти сторін:
-
Сторони більшого п’ятикутника:
Найменша сторона дорівнює , що становить частини.
Тоді довжина однієї частини:Обчислюємо довжини всіх п’яти сторін:
Відповідь:
, , , , та , , , , .