Завдання № 10. Завдання для перевірки знань до §§ 15–17 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює $3\sqrt{2}\text{ см}$, а радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, — $6\text{ см}$. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.

Покроковий розв’язок:

Нехай $n$ — кількість сторін правильного многокутника, $R=6\text{ см}$ — радіус описаного кола, $r=3\sqrt{2}\text{ см}$ — радіус вписаного кола.

1. Знаходження центрального кута та кількості сторін многокутника

Розглянемо трикутник $△AOB$, утворений стороною многокутника $AB$ та двома радіусами описаного кола $OA=OB=R=6\text{ см}$.
Цей трикутник є рівнобедреним з основою $AB$.

Проведемо висоту $OK\perp AB$. Вона є також радіусом вписаного кола, тобто $OK=r=3\sqrt{2}\text{ см}$, і водночас виступає бісектрисою центрального кута $\angle AOB$ та медіаною сторони $AB$.

Розглянемо прямокутний трикутник $△OKA$ ($\angle OKA=90^{\circ }$):
За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:

Підставимо числові значення:

Звідси отримуємо градусну міру кута $\angle AOK$:

Оскільки $OK$ — бісектриса кута $\angle AOB$, то центральний кут многокутника $\alpha$ дорівнює:

Центральний кут правильного $n$-кутника обчислюється за формулою $\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}$. Звідси знайдемо кількість його сторін:

Отже, даний многокутник має $4$ сторони (є правильним чотирикутником, тобто квадратом).

2. Обчислення довжини сторони многокутника

У прямокутному трикутнику $△OKA$ за означенням синуса:

Оскільки $OK$ є медіаною сторони $AB$, то довжина всієї сторони дорівнює:

(Те саме значення можна отримати за формулою сторони правильного чотирикутника: $a_4=R\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ см}$).

Відповідь: $4$ сторони; $6\sqrt{2}\text{ см}$.