Завдання № 10. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ довжини сторін дорівнюють $AB=7\text{ см}$, $BC=6\text{ см}$, $AC=5\text{ см}$. На сторонах $BC$ і $CA$ відповідно позначено точки $M$ і $N$ так, що $CM=5\text{ см}$, $CN=3\text{ см}$. Знайдіть довжину відрізка $MN$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження косинуса кута $C$ трикутника $ABC$

Застосуємо теорему косинусів для сторони $AB$ у $△ABC$:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$

Звідси виразимо $\cos \angle C$:
$\cos \angle C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}$

Підставимо відомі значення сторін трикутника:
$\cos \angle C=\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{25+36-49}{60}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$

2. Обчислення довжини відрізка $MN$

Розглянемо трикутник $MCN$. У ньому відомі дві сторони: $CM=5\text{ см}$, $CN=3\text{ см}$ та косинус кута між ними $\angle C$.

За теоремою косинусів для сторони $MN$ у $△MCN$:
$M{N}^2=C{M}^2+C{N}^2-2\cdot CM\cdot CN\cdot \cos \angle C$

Підставимо значення у формулу:

Звідси знайдемо довжину відрізка $MN$:
$MN=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}\text{ см}$

Відповідь:
$2\sqrt{7}\text{ см}$.