Завдання № 10. Завдання для перевірки знань до §§ 6–10 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що точки $A(5;-7)$, $B(6;-9)$ і $C(3;-3)$ лежать на одній прямій.

Покроковий розв’язок:

Для того щоб довести, що три точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій, достатньо показати, що вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AC}$ є колінеарними, оскільки вони мають спільний початок у точці $A$.

1. Знаходження координат векторів

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця та початку:

2. Перевірка умови колінеарності векторів

Два ненульових вектори є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні. Перевіримо співвідношення координат векторів $\overrightarrow{AB}(1;-2)$ та $\overrightarrow{AC}(-2;4)$:

Оскільки рівність виконується:

або у векторному вигляді $\overrightarrow{AC}=-2\cdot \overrightarrow{AB}$, то координати векторів є пропорційними.

3. Висновок

Отже, вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AC}$ колінеарні (більш того, протилежно напрямлені: $\overrightarrow{AC}\uparrow \downarrow \overrightarrow{AB}$). Оскільки вони виходять з однієї спільної точки $A$, ці вектори лежать на одній прямій. Відповідно, точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій, причому точка $A$ лежить між точками $C$ і $B$.

Відповідь:
Доведено, оскільки координати векторів $\overrightarrow{AB}(1;-2)$ та $\overrightarrow{AC}(-2;4)$ пропорційні ($\frac{1}{-2}=\frac{-2}{4}=-0,5$), вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$ є колінеарними та мають спільну точку $A$, отже, точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій.