Завдання № 10. Завдання для перевірки знань до §§ 1–5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть значення виразу:

1) ${\sin }^{2}23^{\circ }+{\sin }^{2}67^{\circ }$;

2) $4-\cos 118^{\circ }-\cos 62^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1) Обчислення значення першого виразу
Подамо кут $67^{\circ }$ як різницю $90^{\circ }-23^{\circ }$.

За формулою зведення для кутів від $0^{\circ }$ до $90^{\circ }$ маємо:
$\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$

Отже:
$\sin 67^{\circ }=\sin (90^{\circ }-23^{\circ })=\cos 23^{\circ }$

Підставимо отриманий вираз у початковий приклад і застосуємо основну тригонометричну тотожність ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
${\sin }^{2}23^{\circ }+{\sin }^{2}67^{\circ }={\sin }^{2}23^{\circ }+{\cos }^{2}23^{\circ }=1$

2) Обчислення значення другого виразу
Подамо кут $118^{\circ }$ як різницю $180^{\circ }-62^{\circ }$.

За формулою зведення для кутів від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ маємо:
$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

Звідси:
$\cos 118^{\circ }=\cos (180^{\circ }-62^{\circ })=-\cos 62^{\circ }$

Підставимо отриманий результат у заданий вираз:
$4-\cos 118^{\circ }-\cos 62^{\circ }=4-(-\cos 62^{\circ })-\cos 62^{\circ }=4+\cos 62^{\circ }-\cos 62^{\circ }=4$

Відповідь:

1) $1$;

2) $4$.