Завдання № 10. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Доведіть, що відстань $d$ від точки $A(x_0;y_0)$ до прямої $l$, заданої загальним рівнянням $ax+by+c=0$, обчислюється за формулою:
$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний зміст відстані

Відстанню $d$ від точки $A(x_0;y_0)$ до прямої $l$ є довжина перпендикуляра $AK$, опущеного з точки $A$ на пряму $l$:
$d=|\overrightarrow{KA}|=\sqrt{(x_0-x_1{)}^2+(y_0-y_1{)}^2}$
де $K(x_1;y_1)$ — основа перпендикуляра ($K\in l$).

Оскільки точка $K$ лежить на прямій $l$, її координати задовольняють рівняння прямої:
$a{x}_1+b{y}_1+c=0⟹c=-a{x}_1-b{y}_1$

2. Використання нормального вектора прямої

Ненульовий вектор $\vec{n}(a;b)$ є вектором нормалі до прямої $ax+by+c=0$, тобто $\vec{n}\perp l$.

Оскільки відрізок $AK\perp l$, вектор $\overrightarrow{KA}=(x_0-x_1;y_0-y_1)$ є колінеарним до вектора $\vec{n}(a;b)$. Отже, існує таке дійсне число $k$, що:
$\overrightarrow{KA}=k\cdot \vec{n}$

У координатній формі це означає:
$x_0-x_1=k\cdot a$
$y_0-y_1=k\cdot b$

3. Обчислення довжини відрізка $AK$

Виразимо довжину вектора $\overrightarrow{KA}$ через коефіцієнт $k$:
$d=|\overrightarrow{KA}|=\sqrt{(k\cdot a{)}^2+(k\cdot b{)}^2}=\sqrt{k^2(a^2+b^2)}=|k|\cdot \sqrt{a^2+b^2}$

4. Зв’язок коефіцієнта $k$ із рівнянням прямої

Підставимо координати точки $A(x_0;y_0)$ у ліву частину рівняння прямої, врахувавши рівності $x_0=x_1+k\cdot a$ та $y_0=y_1+k\cdot b$:
$a{x}_0+b{y}_0+c=a(x_1+k\cdot a)+b(y_1+k\cdot b)+c$
$a{x}_0+b{y}_0+c=(a{x}_1+b{y}_1+c)+k\cdot a^2+k\cdot b^2$

Оскільки $a{x}_1+b{y}_1+c=0$, отримуємо:
$a{x}_0+b{y}_0+c=k(a^2+b^2)$

Звідси знайдемо модуль коефіцієнта $k$:
$|k|=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{a^2+b^2}$

5. Виведення шуканої формули

Підставимо отриманий вираз для $|k|$ у формулу відстані $d$:
$d=|k|\cdot \sqrt{a^2+b^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{a^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Формулу доведено.

Відповідь:
Доведено.