Завдання № 10. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$AB$ — перпендикуляр до площини $\alpha$, $AC$ — похила (мал. 2). Знайдіть:

1) $AB$ і $BC$, якщо $AC=15\text{ см}$, $AB:BC=4:3$;

2) $AB$ і $BC$, якщо $AC=13\text{ см}$, $AB+BC=17\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

За означенням прямої, перпендикулярної до площини, пряма $AB$ перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині та проходить через точку $B$. Оскільки відрізок $BC$ належить площині $\alpha$ ($BC\subset \alpha$), то $AB\perp BC$.

Отже, $△ABC$ є прямокутним із прямим кутом при вершині $B$ ($\angle B=90^{\circ }$) та гіпотенузою $AC$.

1. Знаходження відрізків за їх відношенням:

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді довжини катетів дорівнюють:
$AB=4x\text{ см},BC=3x\text{ см}$

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $△ABC$:
$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$

Підставимо відомі значення:

Оскільки довжина відрізка є додатною величиною, маємо $x=3$.

Обчислимо довжини сторін:
$AB=4\cdot 3=12\text{ см}$
$BC=3\cdot 3=9\text{ см}$

2. Знаходження відрізків за їх сумою:

За умовою сума катетів становить $AB+BC=17\text{ см}$, звідки:
$BC=17-AB$

За теоремою Піфагора для трикутника $△ABC$:
$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$
$A{B}^2+B{C}^2=13^2=169$

Підставимо вираз для $BC$ у рівняння:

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$A{B}^2-17\cdot AB+60=0$

За теоремою Вієта:

Коренями квадратного рівняння є:
$AB=12\text{або}AB=5$

Розглянемо два випадки:

• Якщо $AB=12\text{ см}$, то $BC=17-12=5\text{ см}$.
• Якщо $AB=5\text{ см}$, то $BC=17-5=12\text{ см}$.

Відповідь:

1) $AB=12\text{ см}$, $BC=9\text{ см}$;

2) $AB=12\text{ см}$, $BC=5\text{ см}$ або $AB=5\text{ см}$, $BC=12\text{ см}$.