Завдання № 10. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано відрізок $AB$ і точку $O$. Побудуйте відрізок, симетричний відрізку $AB$ відносно точки $O$, якщо:

1) точка $O$ не належить відрізку $AB$;

2) точка $O$ належить відрізку $AB$.

Покроковий розв’язок:

За означенням центральної симетрії дві точки $X$ і $X^{\prime }$ є симетричними відносно центра симетрії — точки $O$, якщо точка $O$ є серединою відрізка $X{X}^{\prime }$.

Центральна симетрія є перетворенням руху, тому образом відрізка $AB$ є рівний йому відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Для побудови відрізка, симетричного даному відрізку $AB$, достатньо побудувати точки $A^{\prime }$ та $B^{\prime }$, симетричні кінцям відрізка (точкам $A$ та $B$) відносно точки $O$, після чого сполучити їх.

1. Випадок, коли точка $O$ не належить відрізку $AB$ ($O\notin AB$):

1) Проводимо промінь $AO$ і за точкою $O$ відкладаємо відрізок $O{A}^{\prime }=OA$. Отримуємо точку $A^{\prime }$, симетричну точці $A$ відносно центра $O$.

2) Проводимо промінь $BO$ і за точкою $O$ відкладаємо відрізок $O{B}^{\prime }=OB$. Отримуємо точку $B^{\prime }$, симетричну точці $B$ відносно центра $O$.

3) Сполучаємо точки $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ відрізком.

Отриманий відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ є шуканим. При цьому $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ та $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$.

2. Випадок, коли точка $O$ належить відрізку $AB$ ($O\in AB$):

1) Оскільки точка $O$ лежить на відрізку $AB$, пряма, що містить цей відрізок, проходить через центр симетрії. Отже, симетричні точки $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ також належатимуть цій самій прямій.

2) На промені з початком у точці $O$, що проходить через точку $B$, відкладаємо відрізок $O{A}^{\prime }=OA$ (точка $A^{\prime }$ є симетричною точці $A$ відносно $O$).

3) На промені з початком у точці $O$, що проходить через точку $A$, відкладаємо відрізок $O{B}^{\prime }=OB$ (точка $B^{\prime }$ є симетричною точці $B$ відносно $O$).

Отриманий відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ лежить на тій самій прямій і є шуканим образом відрізка $AB$.

Відповідь:
Побудовано шукані відрізки $A^{\prime }{B}^{\prime }$ для обох випадків (відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ утворюється сполученням точок $A^{\prime }$ та $B^{\prime }$, таких що $O{A}^{\prime }=OA$ та $O{B}^{\prime }=OB$, де точка $O$ лежить між точками $A$ і $A^{\prime }$ та між $B$ і $B^{\prime }$).