Завдання № 10. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіус кола, вписаного у правильний шестикутник, дорівнює $4\sqrt{3}\text{ см}$. Знайдіть меншу діагональ шестикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження сторони правильного шестикутника

Правильний шестикутник розбивається радіусами описаного кола, проведеними до його вершин, на $6$ рівних правильних (рівносторонніх) трикутників зі стороною $a$.

Радіус кола $r$, вписаного у правильний шестикутник, є висотою такого рівностороннього трикутника і виражається через його сторону $a$ за формулою:
$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

За умовою $r=4\sqrt{3}\text{ см}$. Підставимо це значення у формулу:
$\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$:
$a\sqrt{3}=8\sqrt{3}$

Поділимо обидві частини на $\sqrt{3}$:
$a=8\text{ см}$

2. Знаходження меншої діагоналі

Знайдемо величину внутрішнього кута правильного шестикутника за формулою:
$\alpha =\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }$

Менша діагональ $d$ (наприклад, $AC$) сполучає вершини через одну. Розглянемо $△ABC$, у якому $AB=BC=a=8\text{ см}$, а кут між ними $\angle B=120^{\circ }$.

Застосуємо теорему косинусів для сторони $AC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, маємо:
$d^2=8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$d^2=64+64+64=192$
$d=\sqrt{192}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}\text{ см}$

(Примітка: менша діагональ правильного шестикутника також дорівнює подвоєному радіусу вписаного кола: $d=2\cdot r=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{ см}$).

Відповідь: $8\sqrt{3}\text{ см}$