Завдання № 10. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чотирикутник $ABCD$ — ромб, довжини векторів-діагоналей дорівнюють $|\overrightarrow{AC}|=12$ та $|\overrightarrow{BD}|=16$. Від вершини $A$ відкладено вектор $\overrightarrow{AE}$ так, що $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$. Знайдіть довжину вектора $|\overrightarrow{EC}|$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження сторони ромба

Нехай точка $O$ — точка перетину діагоналей ромба $ABCD$. За властивістю ромба його діагоналі взаємно перпендикулярні ($AC\perp BD$) і точкою перетину діляться навпіл:
$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6$
$BO=OD=\frac{BD}{2}=\frac{16}{2}=8$

Трикутник $△AOB$ прямокутний ($\angle AOB=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу $AB$:
$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Оскільки у ромба всі сторони рівні:
$AB=BC=CD=DA=10$

2. Властивості побудованих векторів

За умовою $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$.

З рівності векторів випливає, що відрізки $AE$ та $BD$ рівні й паралельні ($AE=BD$, $AE\parallel BD$). Чотирикутник $ABDE$ є паралелограмом за ознакою, тому протилежні вектори рівні:
$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AB}$

Оскільки $ABCD$ — ромб, його протилежні сторони $AB$ та $DC$ паралельні, рівні за довжиною та співнапрямлені:
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

3. Обчислення довжини вектора $\overrightarrow{EC}$

За правилом додавання векторів:
$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}$

Підставимо отримані вирази:
$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\cdot \overrightarrow{AB}$

Оскільки $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{DC}$, точка $D$ є серединою відрізка $EC$, а точки $E$, $D$ і $C$ лежать на одній прямій.

Знайдемо довжину вектора $\overrightarrow{EC}$:
$|\overrightarrow{EC}|=|2\cdot \overrightarrow{AB}|=2\cdot |\overrightarrow{AB}|=2\cdot 10=20$

Відповідь: $20$