Завдання № 10. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD$ — ромб. Знайдіть:

1) $\angle 1$, якщо $\angle 2=50^{\circ }$;

2) $\angle 3$, якщо $\angle 1=46^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

За означенням та властивостями ромба $ABCD$:

• протилежні сторони паралельні ($AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$);
• протилежні кути рівні ($\angle ABC=\angle ADC$, $\angle BAD=\angle BCD$);
• діагоналі є бісектрисами його кутів, тобто діагональ $BD$ ділить кути $\angle ABC$ та $\angle ADC$ навпіл.

1. Знаходження $\angle 1$, якщо $\angle 2=50^{\circ }$

1) Оскільки $AB\parallel CD$, кути $\angle ABC$ та $\angle BCD$ (який на малюнку позначено як $\angle 2$) є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих $AB$ і $CD$ та січній $BC$. Їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle ABC+\angle 2=180^{\circ }$
Звідси знаходимо кут $\angle ABC$:
$\angle ABC=180^{\circ }-\angle 2=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$

2) Діагональ $BD$ ромба є бісектрисою кута $\angle ABC$, тому кут $\angle 1$ становить половину цього кута:
$\angle 1=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{130^{\circ }}{2}=65^{\circ }$

2. Знаходження $\angle 3$, якщо $\angle 1=46^{\circ }$

1) Діагональ $BD$ ділить кут $\angle ABC$ навпіл, отже:
$\angle ABC=2\cdot \angle 1=2\cdot 46^{\circ }=92^{\circ }$

2) У ромбі протилежні кути рівні, тому:
$\angle ADC=\angle ABC=92^{\circ }$

3) Кут $\angle 3$ та внутрішній кут ромба $\angle ADC$ є суміжними (утворені прямою $AD$ та променем $DC$), тому їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle ADC+\angle 3=180^{\circ }$
Звідси обчислюємо $\angle 3$:
$\angle 3=180^{\circ }-\angle ADC=180^{\circ }-92^{\circ }=88^{\circ }$

(Примітка: цей же результат можна отримати, помітивши, що $\angle 3$ і $\angle 2$ є внутрішніми різносторонніми кутами при паралельних прямих $BC\parallel AD$ та січній $CD$, тому $\angle 3=\angle 2=180^{\circ }-\angle ABC=88^{\circ }$).

Відповідь:

1) $\angle 1=65^{\circ }$;

2) $\angle 3=88^{\circ }$.