Завдання № 10. Домашня самостійна робота 5 (§§ 18–24) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій $x-2y-10=0$ відносно початку координат.
А. $x-2y+10=0$
Б. $x+2y-10=0$
В. $x+2y+10=0$
Г. $x-2y=0$

Покроковий розв’язок:

1. Властивість симетрії відносно початку координат
При центральній симетрії відносно початку координат $O(0;0)$ кожна точка $M(x;y)$ площини переходить у точку $M^{\prime }(-x;-y)$, координати якої мають протилежні знаки:

2. Знаходження рівняння шуканої прямої
Підставимо вирази $x=-x^{\prime }$ та $y=-y^{\prime }$ у задане рівняння прямої $x-2y-10=0$:
$(-x^{\prime })-2(-y^{\prime })-10=0$
$-x^{\prime }+2y^{\prime }-10=0$

Помножимо обидві частини отриманого рівняння на $-1$:
$x^{\prime }-2y^{\prime }+10=0$

Отже, шукане рівняння прямої має вигляд:
$x-2y+10=0$

3. Геометрична перевірка через точки
Знайдемо дві довільні точки, що належать початковій прямій $x-2y-10=0$:

• Якщо $x=0$, то $-2y-10=0⟹y=-5$. Отримуємо точку $A(0;-5)$.
• Якщо $y=0$, то $x-10=0⟹x=10$. Отримуємо точку $B(10;0)$.

При симетрії відносно точки $O(0;0)$ точки $A$ і $B$ переходять у точки $A^{\prime }$ та $B^{\prime }$ відповідно:
$A(0;-5)⟶A^{\prime }(0;5)$
$B(10;0)⟶B^{\prime }(-10;0)$

Складемо канонічне рівняння прямої, що проходить через дві точки $A^{\prime }(0;5)$ та $B^{\prime }(-10;0)$:
$\frac{x-(-10)}{0-(-10)}=\frac{y-0}{5-0}$
$\frac{x+10}{10}=\frac{y}{5}$

Помножимо обидві частини рівності на $10$:
$x+10=2y$
$x-2y+10=0$

Обидва способи приводять до одного й того самого результату, що відповідає варіанту А.

Відповідь: А.