Завдання № 10. Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–17) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює $6 см$ , а радіус кола, вписаного у цей самий многокутник, — $33 см$ . Знайдіть кількість сторін многокутника.
А. $3$
Б. $4$
В. $6$
Г. $8$

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі
Нехай дано правильний $n$ -кутник із центром $O$ . Розглянемо сторону многокутника $A B$ .
Трикутник $△ A O B$ — рівнобедрений, у якому:

бічні сторони $O A = O B = R = 6 см$ — радіуси описаного кола;
відрізок $O K ⊥ A B$ — висота, медіана та бісектриса $△ A O B$ , що є радіусом вписаного кола: $r = O K = 33 см$ ;
кут $∠ A O B$ — центральний кут правильного многокутника, який спирається на його сторону.

2. Обчислення центрального кута
Розглянемо прямокутний трикутник $△ O K A$ ( $∠ O K A = 9 0^{\circ}$ ).
За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:

cos (∠ K O A) = \frac{O K}{O A} = \frac{r}{R}

Підставимо числові дані:

cos (∠ K O A) = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}

Оскільки $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , маємо:

∠ K O A = 3 0^{\circ}

Оскільки висота $O K$ є також бісектрисою кута $∠ A O B$ , знайдемо величину всього центрального кута $α$ :

α = ∠ A O B = 2 \cdot ∠ K O A = 2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

3. Знаходження кількості сторін многокутника
Центральний кут правильного $n$ -кутника обчислюється за формулою:

α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

Звідси визначимо кількість сторін $n$ :

n = \frac{36 0 ^{\circ}}{α} = \frac{36 0 ^{\circ}}{6 0 ^{\circ}} = 6

Отже, многокутник має $6$ сторін (є правильним шестикутником), що відповідає варіанту В.

Відповідь:
В. $6$

Завдання № 10. Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–17) (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку