Завдання № 10. Домашня самостійна робота 3 (§§11–14) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $A B C$ відомо, що $A B = 6 см$ , $B C = 8 см$ , $A C = 10 см$ . На сторонах $A B$ і $A C$ відповідно взято точки $K$ і $L$ такі, що $A K = 2 см$ , $A L = 5 см$ . Знайдіть довжину відрізка $K L$ .

А. $4 см$
Б. $17 см$
В. $41 см$
Г. $5 см$

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження косинуса кута $A$

У трикутнику $A B C$ відомі всі три сторони: $A B = 6 см$ , $B C = 8 см$ , $A C = 10 см$ .

За теоремою косинусів:
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos ∠ A$

Виразимо $cos ∠ A$ :
$cos ∠ A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}$

Підставимо числові значення сторін:
$cos ∠ A = \frac{6 ^{2} + 1 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 10} = \frac{36 + 100 - 64}{120} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5}$

(Зауважимо: оскільки $6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}$ ( $36 + 64 = 100$ ), то за оберненою теоремою Піфагора $△ A B C$ є прямокутним із гіпотенузою $A C$ , тому $cos ∠ A = \frac{A B}{A C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .)

2. Обчислення довжини відрізка $K L$

Розглянемо $△ A K L$ . У ньому:

сторона $A K = 2 см$ ;
сторона $A L = 5 см$ ;
кут $∠ A$ спільний із трикутником $A B C$ , отже, $cos ∠ A = \frac{3}{5}$ .

Застосуємо теорему косинусів для трикутника $A K L$ :
$K L^{2} = A K^{2} + A L^{2} - 2 \cdot A K \cdot A L \cdot cos ∠ A$

Підставимо значення:

K L^{2} K L^{2} K L^{2} = 2^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 4 + 25 - 12 = 17

Оскільки довжина відрізка є додатною, отримуємо:
$K L = 17 см$

Відповідь: Б. $17 см$ .

Завдання № 10. Домашня самостійна робота 3 (§§11–14) (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку