Завдання № 10. Домашня самостійна робота 2 (§§6–10) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Модуль вектора $\overrightarrow{p}(x;y)$ дорівнює $5$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{p}$, якщо координата $x$ цього вектора на $1$ менша від координати $y$.
А. $(3;4)$
Б. $(3;4)$ або $(-4;-3)$
В. $(-4;-3)$
Г. $(4;3)$

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між координатами та модуль вектора
За умовою задачі координата $x$ на $1$ менша від координати $y$, тобто:
$y=x+1$

Модуль (довжина) вектора $\overrightarrow{p}(x;y)$ обчислюється за формулою:
$|\overrightarrow{p}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Оскільки за умовою $|\overrightarrow{p}|=5$, маємо:
$\sqrt{x^2+y^2}=5$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
$x^2+y^2=25$

2. Складання та розв’язування рівняння
Підставимо вираз $y=x+1$ у рівняння $x^2+y^2=25$:
$x^2+(x+1{)}^2=25$

Розкриємо дужки, застосувавши формулу квадрата суми:
$x^2+x^2+2x+1=25$
$2x^2+2x+1-25=0$
$2x^2+2x-24=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$x^2+x-12=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта:

Звідси отримуємо:
$x_1=3,x_2=-4$

3. Обчислення координати $y$ для кожного значення $x$

1) Якщо $x=3$, то:
$y=3+1=4$
Отримуємо вектор $\overrightarrow{p}(3;4)$.

2) Якщо $x=-4$, то:
$y=-4+1=-3$
Отримуємо вектор $\overrightarrow{p}(-4;-3)$.

Отже, шуканими координатами вектора є $(3;4)$ або $(-4;-3)$, що відповідає варіанту Б.

Відповідь:
Б. $(3;4)$ або $(-4;-3)$