Завдання № 10.8. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано вектори $\overrightarrow{c}(-2;5)$ і $\overrightarrow{d}(x;4)$. За якого значення $x$ їхній скалярний добуток дорівнює $16$ ($\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=16$)?

Покроковий розв’язок:

1. Теоретична основа

За означенням скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами, для будь-яких векторів $\vec{a}(x_1;y_1)$ та $\vec{b}(x_2;y_2)$ скалярний добуток дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:
$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2$

2. Обчислення скалярного добутку векторів $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$

Підставимо координати заданих векторів $\overrightarrow{c}(-2;5)$ та $\overrightarrow{d}(x;4)$ у формулу:
$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=-2\cdot x+5\cdot 4=-2x+20$

3. Складання та розв’язання рівняння

За умовою задачі значення скалярного добутку дорівнює $16$. Складемо рівняння відносно змінної $x$:

Отже, при значенні $x=2$ вектор $\overrightarrow{d}$ має координати $(2;4)$, а їхній скалярний добуток дорівнює $16$.

4. Геометрична ілюстрація отриманих векторів

Відповідь: $2$.