Завдання № 10.45. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Точки $K$ і $L$ — середини сторін $AB$ і $CD$ опуклого чотирикутника $ABCD$, $KL=\frac{AD+BC}{2}$. Доведіть, що $AD\parallel BC$.

Покроковий розв’язок:

1. Додаткова побудова та рівність трикутників

Продовжимо відрізок $BL$ за точку $L$ на довжину цього відрізка, тобто відкладемо відрізок $LN$ так, щоб $LN=BL$ (отже, точка $L$ є серединою відрізка $BN$).

Розглянемо трикутники $△BLC$ і $△NLD$:

• $BL=LN$ (за побудовою);
• $CL=LD$ (за умовою, оскільки точка $L$ — середина сторони $CD$);
• $\angle BLC=\angle NLD$ (як вертикальні кути).

Отже, $△BLC=△NLD$ за двома сторонами та кутом між ними (перша ознака рівності трикутників).

З рівності трикутників випливають відповідні рівності елементів:

• $DN=BC$;
• $\angle LCB=\angle LDN$.

Кути $\angle LCB$ та $\angle LDN$ є внутрішніми різносторонніми при прямих $BC$ і $DN$ та січній $CD$. Оскільки ці кути рівні, за ознакою паралельності прямих маємо:
$BC\parallel DN$

2. Використання середньої лінії трикутника

Розглянемо трикутник $△ABN$:

• точка $K$ — середина сторони $AB$ (за умовою);
• точка $L$ — середина сторони $BN$ (за побудовою).

Отже, відрізок $KL$ є середньою лінією трикутника $△ABN$. За властивістю середньої лінії трикутника:
$KL=\frac{1}{2}AN⟹AN=2\cdot KL$

3. Доведення колінеарності точок $A$, $D$ і $N$

За умовою задачі $KL=\frac{AD+BC}{2}$, звідки:
$2\cdot KL=AD+BC$

Враховуючи, що $AN=2\cdot KL$ та $BC=DN$, отримуємо:
$AN=AD+DN$

Для довільних трьох точок $A$, $D$, $N$ площини справджується нерівність трикутника:
$AN\le AD+DN$
Рівність $AN=AD+DN$ можлива тоді й лише тоді, коли точка $D$ лежить на відрізку $AN$.

Це означає, що точки $A$, $D$ і $N$ лежать на одній прямій, тобто пряма $DN$ збігається з прямою $AD$.

4. Висновок

Оскільки $BC\parallel DN$, а пряма $DN$ є прямою $AD$, то:
$AD\parallel BC$

Твердження повністю доведено.

Відповідь: Доведено.