Завдання № 10.44. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві водопровідні труби однакового діаметра $d$ потрібно замінити однією трубою з такою самою пропускною здатністю. Яким має бути діаметр цієї труби порівняно з діаметром кожної із замінних труб?

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між пропускною здатністю та площею перерізу
Пропускна здатність труби прямо пропорційна площі її поперечного перерізу, який має форму круга. Отже, щоб одна нова труба забезпечувала таку саму пропускну здатність, як дві старі труби разом, площа її поперечного перерізу повинна дорівнювати сумі площ перерізів двох початкових труб.

2. Обчислення площі перерізу початкових труб
Формула площі круга через його діаметр має вигляд:
$S=\pi \cdot R^2=\pi \cdot {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Сумарна площа поперечного перерізу двох таких труб:
$S_{\text{сум}}=2\cdot S=2\cdot \frac{\pi \cdot d^2}{4}=\frac{\pi \cdot d^2}{2}$

3. Визначення діаметра нової труби
Нехай $D$ — діаметр нової труби. Тоді площа її поперечного перерізу:
$S_{\text{нова}}=\frac{\pi \cdot D^2}{4}$

Оскільки $S_{\text{нова}}=S_{\text{сум}}$, складаємо рівняння:
$\frac{\pi \cdot D^2}{4}=\frac{\pi \cdot d^2}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $4$ та поділимо на $\pi$:
$D^2=2\cdot d^2$

Оскільки діаметр є додатним числом, добуваємо арифметичний квадратний корінь:
$D=\sqrt{2\cdot d^2}=d\sqrt{2}$

Отже, діаметр нової труби має бути в $\sqrt{2}$ разів більшим за діаметр кожної з початкових труб.

Відповідь:
У $\sqrt{2}$ разів більшим ($D=d\sqrt{2}$).