Завдання № 10.43. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи лежать точки $A(-2;3)$, $B(0;4)$ і $C(8;8)$ на одній прямій?

Покроковий розв’язок:
Три точки лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли найбільший із трьох утворених ними відрізків дорівнює сумі двох інших (тобто одна з точок лежить між двома іншими).

Знайдемо довжини відрізків $AB$, $BC$ та $AC$ за формулою відстані між двома точками:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

1. Довжина відрізка $AB$:
$AB=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

2. Довжина відрізка $BC$:
$BC=\sqrt{(8-0{)}^2+(8-4{)}^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$

3. Довжина відрізка $AC$:
$AC=\sqrt{(8-(-2){)}^2+(8-3{)}^2}=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}$

4. Перевірка розташування точок:
Перевіримо, чи дорівнює довжина найбільшого відрізка $AC$ сумі двох менших відрізків $AB$ і $BC$:
$AB+BC=\sqrt{5}+4\sqrt{5}=5\sqrt{5}$
$AC=5\sqrt{5}$

Оскільки рівність $AB+BC=AC$ виконується, точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$. Отже, точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій.

Відповідь:
Так, лежать.