Завдання № 10.42. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Визначте вид чотирикутника $ABCD$, якщо $A(3;1)$, $B(7;4)$, $C(4;0)$, $D(0;-3)$.

Покроковий розв’язок:

1. Доведення того, що чотирикутник є паралелограмом

Знайдемо координати векторів протилежних сторін $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$. Нагадаємо, що координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця та початку:

Оскільки вектори мають рівні відповідні координати, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. З рівності векторів випливає, що вони співнапрямлені ($\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$) та мають однакову довжину ($|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$).

Це означає, що протилежні сторони чотирикутника паралельні та рівні: $AB\parallel CD$ і $AB=CD$. За ознакою паралелограма, якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні й паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм. Отже, $ABCD$ — паралелограм.

2. Дослідження довжин сусідніх сторін

Знайдемо довжини (модулі) векторів двох сусідніх сторін $AB$ та $BC$:

Оскільки сусідні сторони паралелограма рівні ($AB=BC=5$), то за ознакою ромба паралелограм $ABCD$ є ромбом.

3. Перевірка, чи є цей ромб квадратом

Ромб є квадратом тоді й лише тоді, коли його діагоналі рівні (або коли його кути прямі). Перевіримо рівність довжин діагоналей $AC$ і $BD$:

Оскільки $|\overrightarrow{AC}|\ne |\overrightarrow{BD}|$ ($\sqrt{2}\ne 7\sqrt{2}$), діагоналі ромба не рівні між собою. Отже, даний чотирикутник не є квадратом (чи прямокутником).

Таким чином, чотирикутник $ABCD$ є ромбом.

Відповідь:
Ромб.