Завдання № 10.41. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
За якого значення $m$ вектори $a (m; - 2)$ і $b (- 8; m)$ є колінеарними?

Покроковий розв’язок:

Два ненульових вектори $a (x_{1}; y_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2})$ є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні:

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}}

або добуток навхрест задовольняє умову:

x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1} = 0

1. Складання рівняння колінеарності

Підставимо задані координати векторів $a (m; - 2)$ та $b (- 8; m)$ у пропорцію:

\frac{m}{- 8} = \frac{- 2}{m}

2. Розв’язання рівняння

За основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів):

m \cdot m = (- 8) \cdot (- 2) m^{2} = 16 m = 4 або m = - 4

3. Геометрична інтерпретація розв’язків

При $m = 4$ : отримаємо вектори $a (4; - 2)$ і $b (- 8; 4)$ . Оскільки $b = - 2 \cdot a$ , вектори протилежно напрямлені ( $a ↑↓ b$ ).
При $m = - 4$ : отримаємо вектори $a (- 4; - 2)$ і $b (- 8; - 4)$ . Оскільки $b = 2 \cdot a$ , вектори співнапрямлені ( $a ↑↑ b$ ).

Отже, обидва знайдені значення задовольняють умову колінеарності.

Відповідь:
$m = 4$ або $m = - 4$ .