Завдання № 10.39. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відомо, що $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$, $|\overrightarrow{a}|=2$, $|\overrightarrow{b}|=3$, $|\overrightarrow{c}|=1$. Обчисліть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Покроковий розв’язок:

1. Перетворення виразу для скалярного добутку
Запишемо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{p}$ і $\overrightarrow{q}$:

Згрупуємо доданки $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ як один вектор і скористаємося формулою різниці квадратів $((\vec{u}-\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})={\vec{u}}^2-{\vec{v}}^2)$:

2. Розкриття скалярного квадрата суми векторів
За властивостями скалярного добутку розкриємо квадрат суми векторів $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2$:

Таким чином, вираз для шуканого добутку набуває вигляду:

3. Використання властивостей довжини векторів і взаємної перпендикулярності

• Скалярний квадрат будь-якого вектора дорівнює квадрату його модуля:
  ${\overrightarrow{a}}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2=2^2=4$;
  ${\overrightarrow{b}}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2=3^2=9$;
  ${\overrightarrow{c}}^2=|\overrightarrow{c}{|}^2=1^2=1$.
• Оскільки вектори $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$ перпендикулярні ($\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$), то кут між ними дорівнює $90^{\circ }$, а їхній скалярний добуток дорівнює нулю: $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos 90^{\circ }=0$$

4. Обчислення кінцевого результату
Підставимо отримані числові значення у вираз:

Відповідь:
$12$