Завдання № 10.38. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{c}$, перпендикулярного до вектора $\overrightarrow{d}(1;-5)$, модуль якого дорівнює модулю вектора $\overrightarrow{d}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай вектор $\overrightarrow{c}$ має координати $(x;y)$.

1. Використання умови перпендикулярності векторів
За означенням, два ненульові вектори є перпендикулярними тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=0$

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{c}(x;y)$ та $\overrightarrow{d}(1;-5)$, заданих своїми координатами, обчислюється за формулою:
$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=x\cdot 1+y\cdot (-5)=x-5\cdot y$

Прирівнюємо скалярний добуток до нуля:
$x-5\cdot y=0⟹x=5\cdot y$

Отже, вектор $\overrightarrow{c}$ має координати $(5\cdot y;y)$.

2. Обчислення модуля вектора $\overrightarrow{d}$
Модуль вектора $\overrightarrow{d}(1;-5)$ знаходиться як корінь квадратний із суми квадратів його координат:
$|\overrightarrow{d}|=\sqrt{1^2+(-5{)}^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$

3. Використання умови рівності модулів
Знайдемо модуль вектора $\overrightarrow{c}(5\cdot y;y)$:
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{(5\cdot y{)}^2+y^2}=\sqrt{25\cdot y^2+y^2}=\sqrt{26\cdot y^2}=|y|\cdot \sqrt{26}$

За умовою задачі модуль вектора $\overrightarrow{c}$ дорівнює модулю вектора $\overrightarrow{d}$:
$|y|\cdot \sqrt{26}=\sqrt{26}$

Поділимо обидві частини рівності на $\sqrt{26}$:
$|y|=1$

Звідси маємо два можливі значення для $y$:
$y_1=1\text{або}{y}_2=-1$

4. Знаходження шуканих координат вектора $\overrightarrow{c}$

• Якщо $y=1$, то $x=5\cdot 1=5$. Отримуємо вектор $\overrightarrow{c}(5;1)$.
• Якщо $y=-1$, то $x=5\cdot (-1)=-5$. Отримуємо вектор $\overrightarrow{c}(-5;-1)$.

Обидва знайдені вектори задовольняють умови задачі (перпендикулярні до $\overrightarrow{d}$ та мають однакову з ним довжину).

Відповідь: $\overrightarrow{c}(5;1)$ або $\overrightarrow{c}(-5;-1)$.