Завдання № 10.37. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{d}$, перпендикулярного до вектора $\overrightarrow{c}(-2;1)$, якщо $|\overrightarrow{d}|=3|\overrightarrow{c}|$.

Покроковий розв’язок:

1. Використання умови перпендикулярності векторів
Нехай шуканий вектор має координати $\overrightarrow{d}(x;y)$.
За геометричною властивістю, два ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

Обчислимо скалярний добуток векторів у координатах:

Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю, маємо:

Отже, координати шуканого вектора можна записати у вигляді $\overrightarrow{d}(x;2x)$.

2. Обчислення модулів векторів
Знайдемо модуль (довжину) вектора $\overrightarrow{c}(-2;1)$:

Знайдемо модуль вектора $\overrightarrow{d}(x;2x)$:

3. Знаходження невідомих координат
За умовою задачі довжина вектора $\overrightarrow{d}$ утричі більша за довжину вектора $\overrightarrow{c}$, тобто $|\overrightarrow{d}|=3|\overrightarrow{c}|$. Підставимо отримані вирази:

Поділимо обидві частини рівняння на $\sqrt{5}$:

Обчислимо відповідні ординати $y=2x$:

• Якщо $x_1=3$, то $y_1=2\cdot 3=6$, звідки отримуємо перший розв’язок: ${\overrightarrow{d}}_1(3;6)$.
• Якщо $x_2=-3$, то $y_2=2\cdot (-3)=-6$, звідки отримуємо другий розв’язок: ${\overrightarrow{d}}_2(-3;-6)$.

4. Геометрична ілюстрація отриманих векторів














x
y
0


c(-2; 1)

d₁(3; 6)

d₂(-3; -6)

Відповідь:
$\overrightarrow{d}(3;6)$ або $\overrightarrow{d}(-3;-6)$.