Завдання № 10.34. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{b}$, колінеарного вектору $\overrightarrow{a}(3;-1)$, якщо $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=30$.

Покроковий розв’язок:

1. Використання умови колінеарності векторів
За означенням, якщо ненульові вектори $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$ колінеарні, то їхні відповідні координати пропорційні, тобто існує таке дійсне число $k$, що:

Оскільки координати вектора $\overrightarrow{a}$ дорівнюють $(3;-1)$, координати вектора $\overrightarrow{b}$ можна виразити через коефіцієнт пропорційності $k$:

2. Обчислення скалярного добутку векторів у координатах
Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:

3. Знаходження коефіцієнта $k$ та координат вектора $\overrightarrow{b}$
За умовою задачі скалярний добуток дорівнює $30$. Складемо рівняння:

Оскільки $k=3>0$, вектори $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$ є співнапрямленими ($\overrightarrow{b}\uparrow \uparrow \overrightarrow{a}$).

Підставимо значення $k=3$ у координати вектора $\overrightarrow{b}$:

4. Геометрична ілюстрація отриманих векторів

Відповідь:
$\overrightarrow{b}(9;-3)$