Завдання № 10.33. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть координати вектора $a$ , колінеарного вектору $b (- 1; 4)$ , якщо $a \cdot b = - 34$ .

Покроковий розв’язок:

1. Використання умови колінеарності векторів
За означенням, два ненульові вектори є колінеарними тоді й лише тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні. Тобто існує таке дійсне число $k$ ( $k \neq = 0$ ), що:

a = k \cdot b

Оскільки вектор $b$ має координати $(- 1; 4)$ , координати вектора $a$ можна записати через коефіцієнт пропорційності $k$ :

a (- 1 \cdot k; 4 \cdot k) = a (- k; 4 k)

2. Обчислення скалярного добутку векторів
Скалярний добуток двох векторів, заданих координатами $a (x_{1}; y_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2})$ , дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:

a \cdot b = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}

Підставимо виражені координати векторів $a (- k; 4 k)$ та $b (- 1; 4)$ :

a \cdot b = (- k) \cdot (- 1) + 4 k \cdot 4 = k + 16 k = 17 k

3. Знаходження коефіцієнта $k$ та координат вектора $a$
За умовою задачі скалярний добуток дорівнює $- 34$ . Складемо рівняння:

17 k = - 34

k = \frac{- 34}{17} = - 2

Оскільки коефіцієнт $k = - 2 < 0$ , вектори $a$ та $b$ є протилежно напрямленими ( $a ↑↓ b$ ).

Підставимо знайдене значення $k = - 2$ у вираз для координат вектора $a$ :

x = - (- 2) = 2 y = 4 \cdot (- 2) = - 8

Отже, шуканий вектор має координати $a (2; - 8)$ .

4. Геометрична ілюстрація

x
y
0

b(-1; 4)
a(2; -8)

Відповідь:
$a (2; - 8)$

Завдання № 10.33. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку