Завдання № 10.32. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відомо, що $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , а кут між векторами дорівнює $∠ (a, b) = 6 0^{\circ}$ . Доведіть, що вектори $a$ і $2 b - a$ взаємно перпендикулярні.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретична основа
Два ненульові вектори взаємно перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0

За умовою довжина векторів $∣ a ∣ = 1 \neq = 0$ та $∣ b ∣ = 1 \neq = 0$ . Знайдемо довжину вектора $2 b - a$ :

∣2 b - a ∣^{2} = (2 b - a)^{2} = 4∣ b ∣^{2} - 4 (a \cdot b) + ∣ a ∣^{2} = 4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} + 1^{2} = 4 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 3 \neq = 0

Отже, обидва вектори є ненульовими. Для доведення їхньої перпендикулярності достатньо показати, що їхній скалярний добуток дорівнює $0$ .

2. Обчислення скалярного добутку
Розкриємо дужки у скалярному добутку векторів $a$ та $(2 b - a)$ , застосувавши розподільну властивість скалярного добутку:

a \cdot (2 b - a) = 2 (a \cdot b) - a^{2}

За означенням скалярного добутку двох векторів:

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos ∠ (a, b)

А скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

3. Підстановка числових значень
Підставимо значення довжин векторів $∣ a ∣ = 1$ , $∣ b ∣ = 1$ та значення косинуса $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ :

a \cdot (2 b - a) = 2 \cdot ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos 6 0^{\circ} - ∣ a ∣^{2} = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} - 1^{2} = 1 - 1 = 0

4. Геометрична ілюстрація

60° 2b b a 2b − a O

5. Висновок
Оскільки вектори є ненульовими та їхній скалярний добуток дорівнює нулю ( $a \cdot (2 b - a) = 0$ ), за критерієм перпендикулярності вектори $a$ та $2 b - a$ є взаємно перпендикулярними:

a ⊥ (2 b - a)

Твердження повністю доведено.

Відповідь:
Доведено, що $a ⊥ (2 b - a)$ , оскільки їхній скалярний добуток $a \cdot (2 b - a) = 0$ .

Завдання № 10.32. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку