Завдання № 10.31. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відомо, що $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$, а вектори $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{a}$ взаємно перпендикулярні. Знайдіть кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Покроковий розв’язок:

1. Використання умови перпендикулярності векторів
За геометричною властивістю, два ненульових вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\perp \overrightarrow{a}⟺(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=0$

2. Розкриття скалярного добутку
Застосуємо розподільну властивість скалярного добутку векторів:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=0$

Оскільки скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля ($\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^2$), а скалярний добуток за означенням дорівнює $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$, отримуємо:
$|\overrightarrow{a}{|}^2+2\cdot |\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0$

3. Обчислення косинуса кута між векторами
Підставимо відомі з умови довжини векторів $|\overrightarrow{a}|=1$ та $|\overrightarrow{b}|=1$:
$1^2+2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos \angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0$
$1+2\cdot \cos \angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0$
$2\cdot \cos \angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-1$
$\cos \angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-\frac{1}{2}$

4. Знаходження градусної міри кута
Кут $\phi$ між векторами лежить у межах $0^{\circ }\le \phi \le 180^{\circ }$.
Оскільки $\cos \phi =-\frac{1}{2}$, то кут є тупим:
$\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

Відповідь:
$120^{\circ }$