Завдання № 10.30. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$, для яких $|\overrightarrow{a}|=5$, $|\overrightarrow{b}|=2$, а кут між ними дорівнює $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=60^{\circ }$. Знайдіть:

1) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$;

2) $|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$.

Покроковий розв’язок:

Для знаходження довжини (модуля) вектора скористаємося фундаментальною властивістю скалярного квадрата: для будь-якого вектора $\overrightarrow{x}$ виконується рівність $|\overrightarrow{x}{|}^2={\overrightarrow{x}}^2$, звідки $|\overrightarrow{x}|=\sqrt{{\overrightarrow{x}}^2}$.

Спочатку обчислимо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$ за означенням:

1. Обчислення модуля вектора $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$

Піднесемо вектор $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ до скалярного квадрата, застосувавши формулу квадрата суми:

Підставимо числові значення:

Оскільки довжина вектора є величиною невід’ємною:

2. Обчислення модуля вектора $|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$

Аналогічно знайдемо скалярний квадрат даного вектора за формулою квадрата різниці:

Підставимо відомі величини:

Звідси отримуємо шукану довжину:

Відповідь:

1) $\sqrt{39}$;

2) $\sqrt{181}$.