Завдання № 10.29. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано: $|\overrightarrow{a}|=4$, $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$, $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=150^{\circ }$. Знайдіть:

1) $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$;

2) $|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|$.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення скалярного добутку векторів
За означенням скалярного добутку векторів:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Оскільки $\cos 150^{\circ }=\cos (180^{\circ }-30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, отримуємо:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4\cdot \sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2\cdot 3=-6$

2. Знаходження $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$
Використаємо властивість скалярного квадрата вектора $|\vec{x}{|}^2={\vec{x}}^2$:

Підставимо відомі числові значення:
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=4^2-2\cdot (-6)+(\sqrt{3}{)}^2=16+12+3=31$

Оскільки довжина вектора є невід’ємною величиною:
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{31}$

3. Знаходження $|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|$
Аналогічно знайдемо квадрат шуканої довжини:

Підставимо значення:
$|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}{|}^2=4\cdot 4^2+12\cdot (-6)+9\cdot (\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 16-72+9\cdot 3=64-72+27=19$

Звідси:
$|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}$

Відповідь:

1) $\sqrt{31}$;

2) $\sqrt{19}$.