Завдання № 10.28. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано довжини векторів: $|\overrightarrow{a}|=3$, $|\overrightarrow{b}|=4$. Чи може скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ дорівнювати:

1) $-12$;

2) $-6$;

3) $-14$;

4) $0$;

5) $11$;

6) $12\frac{1}{2}$?

Покроковий розв’язок:
За означенням, скалярний добуток двох векторів обчислюється за формулою:

де $\phi$ — кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ ($0^{\circ }\le \phi \le 180^{\circ }$).

Оскільки значення косинуса будь-якого кута лежить у межах від $-1$ до $1$, тобто:

помноживши всі частини нерівності на додатне число $|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|=3\cdot 4=12$, отримаємо оцінку для скалярного добутку:

Отже, скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ може набувати лише тих значень, які належать проміжку $[-12;12]$.

Перевіримо кожне із запропонованих чисел:

1) Значення $-12$
Число $-12$ задовольняє нерівність $-12\le -12\le 12$.
У цьому випадку:

що відповідає куту $\phi =180^{\circ }$ (вектори протилежно напрямлені: $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$).
Отже, дорівнювати $-12$ може.

2) Значення $-6$
Число $-6$ задовольняє нерівність $-12\le -6\le 12$.
У цьому випадку:

що відповідає куту $\phi =120^{\circ }$.
Отже, дорівнювати $-6$ може.

3) Значення $-14$
Число $-14$ не належить проміжку $[-12;12]$, оскільки $-14<-12$.
При цьому значення косинуса:

що неможливо.
Отже, дорівнювати $-14$ не може.

4) Значення $0$
Число $0$ задовольняє нерівність $-12\le 0\le 12$.
У цьому випадку:

що відповідає куту $\phi =90^{\circ }$ (вектори взаємно перпендикулярні: $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$).
Отже, дорівнювати $0$ може.

5) Значення $11$
Число $11$ задовольняє нерівність $-12\le 11\le 12$.
У цьому випадку:

Оскільки $\left|\frac{11}{12}\right|\le 1$, такий кут існує.
Отже, дорівнювати $11$ може.

6) Значення $12\frac{1}{2}$
Число $12\frac{1}{2}=\frac{25}{2}=12,5$ не належить проміжку $[-12;12]$, оскільки $12\frac{1}{2}>12$.
При цьому значення косинуса:

що неможливо.
Отже, дорівнювати $12\frac{1}{2}$ не може.

Відповідь:

1) Так; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні.