Завдання № 10.27. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Паралімпієць-візочник, українець Олег Іваненко, проплив $62\text{ км}$ Ла-Маншем. Знайдіть скалярний добуток $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (13\vec{a}-\vec{b})$, якщо $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, $\angle (\vec{a};\vec{b})=60^{\circ }$, відтак дізнаєтеся, за скільки годин спортсмен проплив цю небезпечну протоку.

Покроковий розв’язок:

1. Перетворення виразу за властивостями скалярного добутку
Розкриємо дужки у виразі, використовуючи розподільну властивість скалярного добутку:

2. Обчислення значень доданків
За означенням скалярного квадрата вектора, скалярний квадрат дорівнює квадрату його модуля:
${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2=1^2=1$
${\vec{b}}^2=|\vec{b}{|}^2=1^2=1$

Обчислимо скалярний добуток векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ за формулою добутку модулів на косинус кута між ними:
$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos 60^{\circ }=1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=0,5$

3. Знаходження кінцевого значення виразу
Підставимо знайдені значення у перетворений вираз:
$13\cdot 1+12\cdot 0,5-1=13+6-1=18$

Отже, скалярний добуток дорівнює $18$, що свідчить про те, що спортсмен подолав протоку за $18\text{ годин}$.

Відповідь:
$18\text{ годин}$.