Завдання № 10.26. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано вектори $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$, для яких $\angle (\overrightarrow{c},\overrightarrow{d})=60^{\circ }$, $|\overrightarrow{c}|=6$, $|\overrightarrow{d}|=1$. Знайдіть:

1) $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}$;

2) $\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$;

3) $(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{d}$;

4) $\overrightarrow{c}\cdot (4\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})$.

Покроковий розв’язок:

Для обчислення виразів скористаємося властивостями скалярного добутку:

• Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \angle (\vec{a},\vec{b})$.
• Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини (модуля): ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$.
• Для скалярного добутку виконується розподільна (дистрибутивна) властивість відносно додавання: $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$.

1. Знаходження скалярного добутку $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}$

За означенням скалярного добутку:

Підставимо числові значення:

2. Знаходження виразу $\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$

Розкриємо дужки, застосувавши розподільну властивість скалярного добутку:

Враховуючи, що ${\overrightarrow{c}}^2=|\overrightarrow{c}{|}^2=6^2=36$, та використовуючи знайдений у пункті 1 добуток $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=3$:

3. Знаходження виразу $(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{d}$

Розкриємо дужки за розподільною властивістю:

Оскільки ${\overrightarrow{d}}^2=|\overrightarrow{d}{|}^2=1^2=1$:

4. Знаходження виразу $\overrightarrow{c}\cdot (4\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})$

Розкриємо дужки за розподільною та сполучною властивостями:

Підставимо значення ${\overrightarrow{c}}^2=36$ та $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=3$:

Відповідь:

1) $3$;

2) $39$;

3) $-2$;

4) $153$.