Завдання № 10.25. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Дано: кут між векторами $∠ (a, b) = 12 0^{\circ}$ , довжини векторів $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 3$ . Знайдіть:

1) $a \cdot b$ ;

2) $(a - b) \cdot a$ ;

3) $b \cdot (a + b)$ ;

4) $a \cdot (3 a - 4 b)$ .

Покроковий розв’язок:

Для обчислень скористаємося властивостями скалярного добутку:

Скалярний добуток векторів за означенням: $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos ∠ (a, b)$ ;
Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини: $a^{2} = a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ;
Для скалярного добутку справджуються розподільна та переставна властивості: $(x \pm y) \cdot z = x \cdot z \pm y \cdot z$ та $a \cdot b = b \cdot a$ .

1. Обчислення скалярного добутку $a \cdot b$

За означенням скалярного добутку двох векторів:

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos 12 0^{\circ}

Оскільки $cos 12 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , отримуємо:

a \cdot b = 4 \cdot 3 \cdot (- \frac{1}{2}) = 12 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 6

2. Обчислення виразу $(a - b) \cdot a$

Розкриємо дужки, застосувавши розподільну властивість:

(a - b) \cdot a = a \cdot a - b \cdot a = ∣ a ∣^{2} - a \cdot b

Підставимо значення довжини $∣ a ∣ = 4$ та знайдений добуток $a \cdot b = - 6$ :

(a - b) \cdot a = 4^{2} - (- 6) = 16 + 6 = 22

3. Обчислення виразу $b \cdot (a + b)$

Застосуємо розподільну властивість множення:

b \cdot (a + b) = b \cdot a + b \cdot b = a \cdot b + ∣ b ∣^{2}

Підставимо значення $a \cdot b = - 6$ та $∣ b ∣ = 3$ :

b \cdot (a + b) = - 6 + 3^{2} = - 6 + 9 = 3

4. Обчислення виразу $a \cdot (3 a - 4 b)$

Розкриємо дужки за розподільною властивістю:

a \cdot (3 a - 4 b) = 3 (a \cdot a) - 4 (a \cdot b) = 3∣ a ∣^{2} - 4 (a \cdot b)

Підставимо відомі числові дані:

a \cdot (3 a - 4 b) = 3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot (- 6) = 3 \cdot 16 + 24 = 48 + 24 = 72

Відповідь:

1) $- 6$ ;

2) $22$ ;

3) $3$ ;

4) $72$ .