Завдання № 10.22. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$\vec{a}$ і $\vec{b}$ — два ненульових вектори. Знайдіть кут між ними, якщо:

1) $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

2) $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

3) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

4) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{1}{2}|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

Покроковий розв’язок:
За означенням скалярного добутку двох векторів:

де $\alpha$ — кут між векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}$, причому $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$.

Оскільки за умовою вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ є ненульовими, їхні довжини $|\vec{a}|>0$ та $|\vec{b}|>0$, тому добуток $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\ne 0$. Поділивши обидві частини рівності на $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$, отримуємо формулу для знаходження косинуса кута між векторами:

Знайдемо кут $\alpha$ для кожного випадку:

1) $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

Оскільки $\cos \alpha =1$, то $\alpha =0^{\circ }$ (у цьому випадку вектори співнапрямлені: $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$).

2) $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

Оскільки $\cos \alpha =\frac{1}{2}$, то $\alpha =60^{\circ }$.

3) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

Оскільки $\cos \alpha =-1$, то $\alpha =180^{\circ }$ (вектори протилежно напрямлені: $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$).

4) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{1}{2}|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$

Оскільки значення косинуса від’ємне, кут між векторами є тупим:

Відповідь:

1) $0^{\circ }$;

2) $60^{\circ }$;

3) $180^{\circ }$;

4) $120^{\circ }$.