Завдання № 10.21. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть косинуси кутів трикутника $KLM$, якщо задано координати його вершин $K(0;6)$, $L(-8;0)$ і $M(3;2)$. З’ясуйте вид трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження координат і довжин векторів сторін

Знайдемо координати векторів, що утворюють кути трикутника, віднімаючи від координат кінця вектора координати його початку:

Для кута $K$ розглядаємо вектори $\overrightarrow{KL}$ та $\overrightarrow{KM}$:

Знайдемо довжини (модулі) цих векторів:

Для кутів $L$ та $M$ знадобляться також протилежні їм вектори та вектор $\overrightarrow{LM}$:

2. Обчислення косинусів кутів трикутника

Косинус кута між двома векторами дорівнює відношенню їхнього скалярного добутку до добутку їхніх довжин:

• Для кута $K$:
$\cos \angle K=\frac{\overrightarrow{KL}\cdot \overrightarrow{KM}}{|\overrightarrow{KL}|\cdot |\overrightarrow{KM}|}=\frac{-8\cdot 3+(-6)\cdot (-4)}{10\cdot 5}=\frac{-24+24}{50}=\frac{0}{50}=0$

Оскільки $\cos \angle K=0$, то $\angle K=90^{\circ }$. Це означає, що трикутник $KLM$ є прямокутним із прямим кутом при вершині $K$.

• Для кута $L$:
$\cos \angle L=\frac{\overrightarrow{LK}\cdot \overrightarrow{LM}}{|\overrightarrow{LK}|\cdot |\overrightarrow{LM}|}=\frac{8\cdot 11+6\cdot 2}{10\cdot 5\sqrt{5}}=\frac{88+12}{50\sqrt{5}}=\frac{100}{50\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

• Для кута $M$:
$\cos \angle M=\frac{\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{ML}}{|\overrightarrow{MK}|\cdot |\overrightarrow{ML}|}=\frac{-3\cdot (-11)+4\cdot (-2)}{5\cdot 5\sqrt{5}}=\frac{33-8}{25\sqrt{5}}=\frac{25}{25\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

3. Геометрична ілюстрація

Відповідь: $\cos \angle K=0$, $\cos \angle L=\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos \angle M=\frac{\sqrt{5}}{5}$; трикутник прямокутний ($\angle K=90^{\circ }$).